Introducción al análisis funcional

En este texto, Introducción al análisis funcional, se tratan los temas clásicos del análisis funcional utilizado en diversos campos de la ciencia y la tecnología. El acento se pone en la teoría de los espacios de Hilbert, las series de Fourier, la transformada de Fouriery los operadores compactos hermitianos. Sobre todo, este texto está pensado para estudiantes avanzados de los programas de pregrado de física y matemáticas o que inician estudios de posgrado.

En todo caso, son necesarios, para su comprensión conocimientos previos de la teoría de los espacios métricos, el álgebra lineal y la integral de Lebesgue. Por ello, para facilitar su lectura, se ha incluido, al final, un apéndice con las definiciones y los enunciados de los teoremas básicos relacionados con estos tópicos.

CONTENIDO

Prólogo

I. ESPACIOS DE BANACH

1. Normas y espacios de Banach
    
2. Normas equivalentes e isomorfismos
    
3. Espacios de Banach de dimensión finita
    
4. Espacios de Banach: ejemplos
    
5. Los espacios LP (µ)
    
6. l. El espacio L(E; F) de las funciones lineales continuas de E en F
    
7. Tres teoremas fundamentales
    
8. Productos, subespacios y cocientes en espacios de Banach
    
9. Hiperplanos, formas lineales continuas y la función transpuesta
    
10. Medidas radonianas
     
11. Funciones ?- aditivas y ?- aditivas
     
12. Ejercicios

II.  ESPACIOS DE HILBERT
 

1. Formas bilineales y productos escalares
    
2. Espacios prehilbertianos y espacios hilbertianos
    
3. El completante de un espacio prehilbert
    
4. La proyección métrica en los espacios de Hilbert
    
5. Ortogonalidad y proyecciones ortogonales
    
6. Familias sumables en los espacios de Banach
    
7. Bases topológicas en los espacios de Banach
    
8. Bases ortogonales en los espacios de Hilbert
    
9. Sumas hilbertianas y sumas vectoriales
    
10. El operador adjunto
     
11. La convergencia débil en los espacios de Hilbert
     
12. Ejercicios

3. SERIES DE FOURIER Y TRANSFORMADA DE FOURIER

1. La serie de Fourier de una función en el intervalo [—?, ?]
    
2. Convergencia puntual de las series de Fourier
    
3. Diferenciación e integración de las series de Fourier
    
4. La transformada de Fourier en L1 (?-?)
    
5. Algunas transformadas de Fourier
    
6. La fórmula de inversión de Fourier
    
7. La transformada de Fourier en L2 (?-?)
    
8. Ejercicios

4. LOS OPERADORES HERMITIANOS COMPACTOS Y SUS VALORES PROPIOS

1. Los operadores hermitianos
    
2. Los operadores compactos
    
3. Ecuaciones lineales y operadores compactos
    
4. Valores propios de los operadores hermitianos compactos
    
5. Los operadores de Sturm-Liouville
    
6. Forma polar de un operador
    
7. Los operadores de Hilbert-Schmidt
    
8. Los operadores de Hilbert-Schmidt en L2 (µ)
    
9. Los operadores nucleares: operadores con traza
    
10. Ejercicios

APÉNDICE: Álgebra, topología e integración

• Notaciones, conjuntos
   
• Los espacios topológicos
   
• Espacios vectoriales, anillos y álgebras
   
• Integración abstracta

Bibliografía

Índice analítico