La teoría de funciones de Baire. La constitución de lo discontinuo como objeto matemático

En esta obra se aborda un capítulo de la historia de las matemáticas, haciendo énfasis en un periodo de veinte años: la última década del siglo XIX y la primera del siglo XX. Particularmente se concentra la atención en el desarrollo de la teoría de funciones discontinuas mediante la cual se abre la perspectiva de la teoría de funciones como disciplina matemática. Para ello se toma como referencia la obra del matemático francés René Baire (1874-1932), especialmente su tesis doctoral de 1899: Sur les fonctions de variables reélles, en la cual se define su famosa clasificación de funciones discontinuas, conocida como las Clases de Baire. Se describe la manera como Baire desarrolla un dispositivo teórico que permite el reconocimiento de lo discontinuo como objeto matemático.

Igualmente se estudian algunos antecedentes importantes que actuaron como catalizadores y se detalla la influencia de los desarrollos de Baire, especialmente en las investigaciones del matemático, también francés, Henri Lebesgue (18751941), sobre las funciones representables analíticamente. Al final se detalla la controversia filosófica que enfrentó a Baire, Borel y Lebesgue de un lado, y Hadamard, del otro, sobre el tipo de existencia de los objetos matemático.

CONTENIDO

Agradecimientos

Prólogo

Introducción

Capítulo 1. El contexto general de la clasificación de funciones
 

1. Euler y la primera clasificación de funciones
2. La clasificación de funciones de Cauchy
3. Cauchy y las series de funciones
4. La integral de Riemann y la representación de funciones
5. Cantor y la representación de funciones
6. La clasificación de funciones en Hankel, Darboux y Dini
7. Baire y la clasificación
8. La clasificación de Lebesgue

Capítulo 2. La teoría de representación de funciones de René Baire
 

1. La noción de semicontinuidad
2. Demostración de las condiciones necesarias
3. Demostración de las condiciones suficientes
4. El caso general de la representación de funciones

Capítulo 3. La existencia efectiva de las clases de Baire
 

1. Lebesgue y las funciones representables analíticamente
2. La definición de símbolos de clases
3. Inducción transfinita
4. Operaciones y clases
5. Limitación de funciones
6. Clasificación de conjuntos B-medibles 
7. Funciones medibles
8. Propiedades genéricas de las clases de Baire
9. El problema de existencia de las clases de Baire

Capítulo 4. El significado histórico de la obra de René Baire
 

1. Baire y el contexto de las funciones discontinuas
2. Baire y los textos de enseñanza universitaria
3. La representación de funciones y los problemas de existencia

Apéndice. Cronología de la clasificación de funciones

Bibliografía