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Introducción a la teoría de números

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Colección:
Obras de Ciencia y Tecnología
Isbn:
978-607-16-0738-6
Formato:
/
Libro
Terminado:
Tapa Blanda
Año:
2017
Páginas:
198
Tamaño:
17 x 23 cm.
Peso:
0.3400 Kg.
Edición:
Primera 2012
Reimpresión:
Primera 2017
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Libro
Temas:
/
Matemática
Números, Teoría de
Detalles Adicionales
Autor
Reseña
Índice
Autor Felipe Zaldívar
Felipe Zaldívar

Obtuvo su licenciatura y maestría en matemáticas en la UNAM y su doctorado en la University of Western Ontario, en Canadá. Actualmente es profesor de matemáticas en la Universidad Autónoma Metropolitana. Sus áreas de interés en matemáticas son la teoría de números y la geometría algebraica.

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Nacida de la necesidad primaria del hombre de contar y medir, la aritmética, al igual que la geometría, tiene su origen en los tiempos prehistóricos. Las grandes civilizaciones antiguas desarrollaron un sistema propio de numeración y operaciones básicas, pero el creado en la India se impuso por su aparente sencillez: la utilización del cero y de la notación con valor numérico posicional. Desde entonces comenzó el desarrollo de la teoría de los números.

 

Este libro es una introducción elemental a la teoría de números o aritmética superior: comienza con un análisis de la noción de divisibilidad e introduce las propiedades elementales de las congruencias, las congruencias cuánticas y las raíces primitivas, para concluir con el estudio de algunas ecuaciones diofánticas de segundo y tercer grado. El capítulo final es una introducción elemental a la aritmética de curvas elípticas.Una novedad del libro es la inclusión de algunas aplicaciones de interés actual, tales como el intercambio de claves Diffie-Hellman y los criptosistemas de clave pública RSA, ElGamal y de Rabin.

 


CONTENIDO

 

Prólogo

 

  • Matemáticos cuyos trabajos se han citado en el libro
  • Lista de símbolos más usados

 

 

I. El teorema fundamental de la aritmética
 

  1. Divisibilidad

 

  • El algoritmo de la división
  • Máximo común divisor
  • Ejercicios

 

  1. Primos y factorización única

 

  • Factorización única
  • La criba de Eratóstenes
  • Infinitud del conjunto de primos
  • Ejercicios

 

  1. El algoritmo de Euclides

 

  • El mínimo común múltiplo
  • Ejercicios

 

  1. Ecuaciones diofantinas lineales
  • Ejercicios

 

II. Congruencias y criptografía

  1. Congruencias y aritmética modular

 

  • Congruencias lineales
  • Ejercicios

 

  1. Los teoremas de Fermat y Euler

 

  • Ejercicios

 

  1. Criptografía

 

  • Cifradores de substitución
  • Criptoanálisis
  • Ejercicios

 

  1. El criptosistema RSA

 

  • Un algoritmo para calcular potencias y raíces
  • Un algoritmo para escribir un decimal en binario
  • Eficiencia de algunos algoritmos
  • Eficiencia del algoritmo de Euclides
  • Eficiencia del cálculo de potencias y raíces modulo
  • Firmas digitales
  • Ejercicios

 

 

III. Números perfectos y funciones multiplicativas

 

  1. Primos de Mersenne y números perfectos
  • Ejercicios

 

  1. Funciones multiplicativas
  • Divisores y la función de Euler
  • El número de divisores de un entero
  • La función de Möbius
  • Ejercicios

 

 

IV. Raíces primitivas y logaritmos discretos

  • Ejercicios
  1. Raíces primitivas
  • Ejercicios
  • Raíces primitivas para potencias de primos
  • El exponente de U (Z/n)
  • Ejercicios
  • Raíces primitivas para potencias de primos
  • Raíces primitivas para potencias de 2
  • Ejercicios
  • Raíces primitivas en el caso general
  • Resumen
  • Ejercicios

 

  1. Logaritmos discretos
  • Ejercicios

 

  1. El intercambio de claves de Diffie-Hellman
  2. El criptosistema de ElGamal
  • Firmas digitales usando El Gamal
  • Ejercicios

 

 

V. Residuos cuadráticos

 

  1. Residuos cuadráticos y raíces primitivas módulo p
  • ¿Cuándo es 1 un RC módulo p?
  • ¿Cuándo es 2 un RC módulo p?
  • Ejercicios
  1. La ley de reciprocidad cuadrática
  • Congruencias cuadráticas en general
  • Primos de la forma ak + b
  • Ejercicios
  1. El símbolo de Jacobi
  • Ejercicios
  1. El cripotsistema de Rabin
  • Ejercicios

 

 

 

VI. Sumas de potencias

  1. Ternas pitagóricas
  • Una excursión por la geometría
  • Ejercicios
  1. La conjetura de Fermat
  • Ejercicios
  1. Sumas de dos cuadrados
  • Ejercicios
  1. Sumas de cuatro cuadrados
  • Sumas de tres cuadrados
  • Ejercicios
  • Un poco de historia

 

 

VII. La ecuación de Pell y aproximaciones diofantinas

 

  1. La ecuación de Pell: un caso particular
  • El problema del ganado de Arquímedes
  • El caso particular de la ecuación de Pell
  • Ejercicios
  1. La ecuación de Pell: el caso general
  • Ejercicios
  1. Aproximación diofantina y la ecuación de Pell
  • La existencia de soluciones de la ecuación de Pell
  • Ejercicios

 

 

VIII. Números congruentes y curvas elípticas

 

  1. Números congruentes
  • Puntos racionales en ciertas cubicas
  • Ejercicios
  1. Curvas elípticas
  • La operación de grupo
  • El teorema de Mordell
  • Reducción módulo p
  • Ejercicios
  1. La función L de Hasse-Weil de una curva elíptica

 

Bibliografía

Índice analítico y onomástico

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