Sarando vuelve al mundo de las matemáticas

Explorar, conocer y divertirse es el propósito de todo buen viaje que nos lleve a descubrir lugares fascinantes en los que cada visita nos revela nuevos mundos que parecen inagotables. El duende Sarando ha encontrado un lugar como éste en las matemáticas y por eso ha partido en busca de más aventuras. Acompañado -como suele hacerlo- de papel, lápiz y su libro de biografías de matemáticos famosos. Sarando, junto con el lector, conocerá en esta ocasión las preguntas aún no respondidas sobre los números primos; aprenderá cómo Dido, la reina de Cartago, echó mano a las matemáticas para fundar su grandiosa ciudad-Estado; entenderá los teoremas que explican la decoración de mosaicos de la Alhambra; y hará un viaje que lo ayudará a comprender los distintos infinitos que abordan los matemáticos.

ÍNDICE

Prólogo

I. Primera aventura: de primos y gemelos

• Los números primos
• ¿Cuantos números primos hay?
• Números primos grandes
• Criba de Eratóstenes
• La geometría de los números primos
• Una fórmula para primos
• Los primos gemelos y la conjetura de Goldbach
• La función zeta y la hipótesis de Riemann
• Eratóstenes de Cirene
• Euclides de Alejandría
• Christian Goldbach
• Georg Friedrich Bernhard Riemann
• Stanislaw Ulam

II. Segunda aventura: conquistando terrenos y haciendo pompas

• La fundación de Cartago
• El problema isoperimétrico
• Figuras convexas
• Paralelogramos isoperimétricos
• Triángulos isoperimétricos
• Polígonos isoperimétricos
• Solución del problema isoperimétrico
• Optimación
• Pompas de jabón
• Superficies mínimas y el problema de Plateau
• Joseph Antoine Ferdinand Plateau
• Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

III. Tercera aventura: empacando naranjas y canicas

• Empaque de discos
• La densidad en el plano
• Teselaciones
• Densidad en el espacio
• La conjetura de Kepler
• Células de Voronoi
• Ejercicios
• Johannes Kepler
• Axel Thue

IV. Cuarta aventura: ¿qué tan grande es el infinito?

• Los números naturales, paradigma del infinito
• Conjuntos equivalentes
• Conjuntos numerables
• El Hotel Infínitum
• Conjuntos no numerables
• La hipótesis del continuo
• El principio de inducción
• Ejercicios
• Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
• Kurt Godel

V. Quinta aventura: ¿paradojas en matemáticas?

• La paradoja de Zenón
• ¿En realidad es infinito el universo?
• La paradoja de Russell
• Las paradojas de Laplace
• La paradoja del cumpleaños
• Otras triquiñuelas
• Bertrand Arthur William Russell
• Zenón de Elea

VI. Sexta aventura: sobre lazos y pelotas

• La conjetura de Poincaré
• La prueba de la conjetura
• ¿Qué se gana con la prueba de la conjetura?
• Grigory Yakovlevich Perelman
• Jules Henri Poincaré
• William Paul Thurston

VII. Séptima aventura: de puentes, toros y tazas

• Los puentes de Kónigsberg
• La fórmula de Euler
• Superficies topológicas
• La fórmula de Euler para superficies
• Felix Hausdorff
• Solomon Lefschetz
• Stephen Smale

VIII. Octava aventura: colocando losetas en el piso

• Teselaciones
• Teselaciones regulares
• Teselaciones semirregulares
• Grupos de transformaciones
• Simetrías
• Grupos de permutaciones
• Los 17 grupos cristalográficos planos
• Resumen
• Teoría de los grupos
• Por qué son exactamente 17 grupos
• La característica de Euler
• Arquímedes de Siracusa
• Roger Penrose
• George Pólya

IX. Novena aventura: dibujando con regla y compás

• Construcciones con regla y compás
• Construcción de polígonos regulares
• Los problemas imposibles
• Irracionales
• El campo de los racionales y extensiones
• Números construibles
• Teoría de Galois
• Niels Henrik Abel
• Evariste Galois
• Carl Louis Ferdinand von Lindemann
• Pierre Laurent Wantzel